Etude de fonction
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Domaine de définition d'une fonction

 

 

Le domaine de définition d'une fonction f(x) est l'ensemble des valeurs de x pour lesquels f(x) existent.

        Par exemple f(x)=1/x est définie pour tout x≠0, en effet f(0) n'a pas de valeur, le domaine de définition de f est: ]-∞;0[U]0;+∞[ ou R*.

        Pour noter un ensemble de définition on utilise le "langage" des ensembles.

 

Domaine de définition des fonctions usuelles:

 

fonction

domaine de définition

x,x²,xn avec nєR, ex

]-∞;+∞[   notée aussi R

1/x, 1/xⁿ

]-∞;0[ U ]0;+∞[ ou R*

√x

[0;+∞[  ou R+

ln (x)

]0;+∞[  ou R*+

 

Cas des sommes de fonctions:

        Le domaine de définition d'une somme de fonction est imposé par la fonction qui a le domaine de définition le plus restreint.

            Ex: f(x)= x + 1/x a pour le même domaine de définition que 1/x soit ]-∞;0[U]0;+∞[.x

                  De même f(x)= x + ln (x) + 1/x a pour domaine de définition ]0;+∞[ soit celui de ln (x).

 

Cas des composés de fonction:

        Le problème ici est plus complexe et il faut déjà se rappeler ce qu'est une composé de fonction.

        Prenons g(u(x)) (ou g°u(x)) il faut alors prendre les valeurs de x tel que u(x) appartienne au domaine de définition de g.

           Par exemple avec g(X)=1/X et u(X)=X²-1 on a g(u(x)= 1/(x²-1). Cette fonction est définie si u(x) appartient à ]-∞;0[U]0;+∞[ soit x différent de 1 et -1.

           En effet pour x=1 et x=-1 on a u(x)=0 et donc u(x) n'appartient pas au domaine de définition de g.